Título: Newton's Method Applied to Two Quadratic Equations in $\\mathbb{C}2$ Viewed as a Global Dynamical System
Autor: John H. Hubbard, Peter Papadopol
Sinopse: The authors study the Newton map $N:\mathbb{C}^2\rightarrow\mathbb{C}^2$ associated to two equations in two unknowns, as a dynamical system. They focus on the first non-trivial case: two simultaneous quadratics, to intersect two conics. In the first two chapters, the authors prove among other things: The Russakovksi-Shiffman measure does not change the points of indeterminancy. The lines joining pairs of roots are invariant, and the Julia set of the restriction of $N$ to such a line has under appropriate circumstances an invariant manifold, which shares features of a stable manifold and a center manifold. The main part of the article concerns the behavior of $N$ at infinity. To compactify $\mathbb{C}^2$ in such a way that $N$ extends to the compactification, the authors must take the projective limit of an infinite sequence of blow-ups. The simultaneous presence of points of indeterminancy and of critical curves forces the authors to define a new kind of blow-up: the Farey blow-up. This construction is studied in its own right in chapter 4, where they show among others that the real oriented blow-up of the Farey blow-up has a topological structure reminiscent of the invariant tori of the KAM theorem. They also show that the cohomology, completed under the intersection inner product, is naturally isomorphic to the classical Sobolev space of functions with square-integrable derivatives. In chapter 5 the authors apply these results to the mapping $N$ in a particular case, which they generalize in chapter 6 to the intersection of any two conics.
Contexto da obra
Quando a classificação é mais ampla, o contexto do livro costuma depender ainda mais de autoria, tema e edição. “Newton’s Method Applied to Two Quadratic Equations in $\\mathbb{C}2$ Viewed as a Global Dynamical System”, de John H. Hubbard, Peter Papadopol, publicado pela editora American Mathematical Society, em 2008 e com 146 páginas, integra a categoria Livros Variados. Por isso, autoria, edição e tema acabam tendo ainda mais peso na forma de apresentar o livro.
Editora: American Mathematical Society
Páginas: 146
Ano: 2008
Edição:
Linguagem: pt_BR
ISBN: 9780821840566
ISBN13: 9780821840566
Sobre a editora
Os livros da editora American Mathematical Society oferecem uma experiência de leitura focada no rigor e na profundidade da matemática profissional e acadêmica. As obras costumam abordar temas que vão desde a escrita técnica e profissional no meio matemático até textos didáticos para cursos de pós-graduação, com explicações detalhadas e exercícios. O catálogo sugere um equilíbrio entre volumes mais expositivos, que tratam de fundamentos e aplicações, e outros que apresentam resultados avançados em áreas como análise funcional e sistemas dinâmicos. Além disso, há títulos que exploram a história da matemática sob uma perspectiva historiográfica, convidando o leitor a refletir sobre o desenvolvimento do conhecimento matemático. A linguagem tende a ser precisa e direta, adequada a leitores com formação em matemática ou interesse acadêmico rigoroso.
